第五章：形式逻辑初步5（2 / 2）
不相容选言推理否定选言支的正确形式为：
要么P，要么Q
非P（或非Q）
所以，Q（或P）。
例如：
这次比赛不是中国队获得冠军，就是韩国队获得冠军。
中国队没有获得冠军。
所以，韩国队获得了冠军。
三、不相容选言推理的错误
在不相容选言推理中，常见的错误是：
1. 肯定选言支而未能否定其他选言支
这种错误在于虽然肯定了某个选言支，但没有同时否定其他所有选言支，从而没有完整地表达出不相容选言命题的逻辑含义。
例如：
这次比赛不是中国队获得冠军，就是韩国队获得冠军。
中国队获得了冠军。
所以，这次比赛可能是中国队获得冠军，也可能是韩国队获得冠军。（错误）
2. 否定选言支而未能肯定其他选言支
这种错误在于虽然否定了某个选言支，但没有同时肯定其他所有选言支中的一个（因为只有一种情况或性质存在），从而没有得出正确的结论。
例如：
这次比赛不是中国队获得冠军，就是韩国队获得冠军。
中国队没有获得冠军。
所以，这次比赛的结果不确定。（错误）
在实际应用中，选言命题及其推理具有重要的逻辑意义。它们能够帮助我们全面地分析和考虑问题的各种可能性，从而避免片面性和绝对化的错误。同时，选言命题及其推理也是构建复杂逻辑论证和推理系统的基础工具之一。因此，我们应该深入理解和掌握选言命题及其推理的逻辑知识和方法，以便更好地运用它们来解决实际问题。
5.3 逻辑学：假言命题及其推理
假言命题，就是陈述一种条件关系的命题。它表示，存在某种条件关系，当满足某种条件时，就会有某种情况出现，或者不出现。假言命题中，条件和结论之间的推导关系是基于假设的，所以称之为假言（假设的言辞）。
5.3.1 充分条件假言命题
定义与结构
充分条件假言命题是断定前件是后件充分条件的假言命题。所谓“充分条件”指的是，如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A而有了事物情况B，或者反过来说，没有事物情况B而有了事物情况A，都是与假设不符的。
充分条件假言命题的结构是：如果P，则Q。P称为前件，Q称为后件。
例如：
? 如果一个人得了肺炎，那么他就会发烧。（如果一个人得了肺炎→他就会发烧）
? 如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。（如果一个四边形的一组对边平行且相等→这个四边形是平行四边形）
在充分条件假言命题中，前件P是后件Q的充分条件，同时后件Q也是前件P的必要条件。也就是说，有P则必有Q，无Q则必无P；但是Q可以由P推出，也可以不由P推出（即，Q存在，P可能存在，也可能不存在）。
推理规则
1. 肯定前件：如果P为真，则Q也为真，即P→Q。
? 举例：如果今天是周末（P），那么我就不用上班（Q）。今天是周末（已知P为真），所以我今天不用上班（推出Q为真）。
2. 否定后件：如果Q为假，则P也为假，即?Q→?P。
? 举例：如果今天是周末（P），那么我就不用上班（Q）。我今天上班了（已知Q为假），所以今天不是周末（推出P为假）。
注意：在充分条件假言命题中，不能由“否定前件”推出“否定后件”，也不能由“肯定后件”推出“肯定前件”。
? 举例：
? 不能由“不是周末（?P）”推出“我要上班（?Q）”，因为有可能存在调休等情况，使得即使不是周末也要上班，或者不是周末但我不需要上班（比如放假、休息日等）。
? 不能由“我今天不用上班（Q）”推出“今天是周末（P）”，因为有可能存在其他原因导致我今天不用上班，比如放假、请假、调休等。
矛盾关系
在充分条件假言命题中，“P且?Q”是其矛盾关系。也就是说，如果“P为真且Q为假”的情况存在，那么原命题“如果P，则Q”就为假。
? 举例：原命题是“如果一个人得了肺炎（P），那么他就会发烧（Q）”。其矛盾关系是“有一个人得了肺炎但不发烧”，即P为真且Q为假。
5.3.2 必要条件假言命题
定义与结构
必要条件假言命题是断定前件是后件必要条件的假言命题。所谓“必要条件”指的是，如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B；如果有事物情况B，则一定有事物情况A。
必要条件假言命题的结构是：只有P，才Q。P称为前件，Q称为后件。也可以表述为：Q，除非非P；若非Q，则非P。
例如：
? 只有年满18周岁，才有选举权。（有选举权→年满18周岁）
? 只有学习好，才能考上好大学。（考上好大学→学习好）
在必要条件假言命题中，前件P是后件Q的必要条件，同时后件Q也是前件P的充分条件。也就是说，无P则必无Q，有Q则必有P；但是P可以由Q推出，也可以不由Q推出（即，P存在，Q可能存在，也可能不存在）。
推理规则
1. 否定后件：如果Q为假，则P也为假，即?Q→?P（与充分条件假言命题的否定后件推理规则相同）。
? 举例：只有年满18周岁（P），才有选举权（Q）。某人没有选举权（已知Q为假），所以他未满18周岁（推出P为假）。
2. 肯定前件：如果P为真，则Q可能为真，也可能为假，即P→可能Q/可能?Q（因为P是Q的必要条件，但不是充分条件，所以Q的真假不确定）。
? 举例：只有年满18周岁（P），才有选举权（Q）。某人年满18周岁（已知P为真），但他是否有选举权不确定（因为可能存在其他影响选举权的因素，如被剥夺政治权利等）。
3. 否定前件：如果P为假，则Q必定为假，即?P→?Q（逆否命题推理）。这是因为如果P是Q的必要条件，那么没有P就一定不会有Q。
? 举例：只有年满18周岁（P），才有选举权（Q）。某人未满18周岁（已知P为假），所以他一定没有选举权（推出Q为假）。
注意：在必要条件假言命题中，“肯定后件”不能推出“肯定前件”。
? 举例：只有学习好（P），才能考上好大学（Q）。某人考上了好大学（已知Q为真），但他学习是否好不确定（因为可能存在其他影响考上大学的因素，如特长、加分项等）。
矛盾关系
在必要条件假言命题中，“?P且Q”是其矛盾关系。也就是说，如果“P为假且Q为真”的情况存在，那么原命题“只有P，才Q”就为假。
? 举例：原命题是“只有年满18周岁（P），才有选举权（Q）”。其矛盾关系是“有人未满18周岁但有选举权”，即?P为真且Q为真。
5.3.3 充分必要条件假言命题
定义与结构
充分必要条件假言命题是断定前件是后件的充分必要条件，或者后件是前件的充分必要条件的假言命题。也就是说，如果P，则Q；如果Q，则P。P是Q的充分条件，也是必要条件；Q是P的充分条件，也是必要条件。
充分必要条件假言命题的结构是：当且仅当P，才Q。也可以表述为：P当且仅当Q；P，如果且仅如果Q；P，当Q且仅当Q。
例如：
? 当且仅当一个人得了肺炎（P），他才会发烧到39度以上（Q）。（如果一个人得了肺炎→他会发烧到39度以上；如果一个人发烧到39度以上→他得了肺炎）
? 水当且仅当在0°C以下才会结冰。（水在0°C以下→会结冰；水结冰→在0°C以下）
推理规则
1. 肯定前件：如果P为真，则Q也为真，即P→Q（与充分条件假言命题的肯定前件推理规则相同）。
? 举例：当且仅当一个人得了肺炎（P），他才会发烧到39度以上（Q）。某人得了肺炎（已知P为真），所以他发烧到39度以上（推出Q为真）。
2. 肯定后件：如果Q为真，则P也为真，即Q→P（与必要条件假言命题的肯定前件推理规则相同，但在这里是充分必要条件，所以可以直接推出）。
? 举例：当且仅当一个人得了肺炎（P），他才会发烧到39度以上（Q）。某人发烧到39度以上（已知Q为真），所以他得了肺炎（推出P为真）。
3. 否定前件：如果P为假，则Q也为假，即?P→?Q（与充分条件假言命题的否定后件推理规则相似，但在这里是通过逆否命题推出的）。
? 举例：当且仅当一个人得了肺炎（P），他才会发烧到39度以上（Q）。某人没有得肺炎（已知P为假），所以他不会发烧到39度以上（推出Q为假）。
4. 否定后件：如果Q为假，则P也为假，即?Q→?P（与必要条件假言命题的否定后件推理规则相同，但在这里是充分必要条件，所以可以直接推出）。
? 举例：当且仅当一个人得了肺炎（P），他才会发烧到39度以上（Q）。某人没有发烧到39度以上（已知Q为假），所以他没有得肺炎（推出P为假）。
矛盾关系
在充分必要条件假言命题中，“P且?Q”或“?P且Q”是其矛盾关系。也就是说，如果“P为真且Q为假”或“P为假且Q为真”的情况存在，那么原命题“当且仅当P，才Q”就为假。
? 举例：原命题是“当且仅当一个人得了肺炎（P），他才会发烧到39度以上（Q）”。其矛盾关系是“有人得了肺炎但不发烧到39度以上”或“有人没有得肺炎但发烧到39度”。
5.4 逻辑学：复合命题的推理规则
在我们探讨复合命题的推理规则之前，让我们先对前面学习的内容进行简要的梳理。
首先，我们了解了命题的定义：命题是一个可以判断真假的陈述句。基于这个定义，我们可以将命题分为真命题和假命题，前者是可以判断为真的陈述句，后者则是可以判断为假的陈述句。
接下来，我们学习了四种基本的命题类型：简单命题和复合命题。简单命题是本身不包含其他命题的命题，包括肯定命题和否定命题。复合命题则是由简单命题通过逻辑联结词联结而成的命题，包括联言命题、选言命题、假言命题和负命题。
对于复合命题，我们重点学习了它们的真假关系以及它们之间的逻辑关系。例如，联言命题的真假取决于其组成部分的真假，即“当且仅当”所有组成部分都为真时，联言命题才为真；选言命题则分为相容选言命题和不相容选言命题，前者的真假取决于至少有一个组成部分为真，后者的真假则取决于有且仅有一个组成部分为真；假言命题则分为充分条件假言命题、必要条件假言命题和充要条件假言命题，它们的真假关系分别取决于前件和后件的逻辑关系；负命题则是对某个命题的否定，其真假与原命题相反。
有了这些基础知识，我们就可以开始探讨复合命题的推理规则了。复合命题的推理规则是基于复合命题的真假关系以及它们之间的逻辑关系而制定的，它们可以帮助我们根据已知命题的真假来推断其他命题的真假，或者根据已知命题来推导出新的命题。
一、联言命题的推理规则
联言命题是断定事物的若干种情况同时存在的命题。其逻辑形式可以表示为“P且Q”，其中P和Q分别代表两个简单命题。联言命题的真假取决于其组成部分的真假，即只有当P和Q都为真时，“P且Q”才为真，否则为假。
基于联言命题的真假关系，我们可以得出以下推理规则：
1. 分解规则：如果已知一个联言命题为真，那么可以分别断定联言命题中的各个组成部分为真。这是因为联言命题的真假取决于其组成部分的真假，如果联言命题为真，那么其各个组成部分也必然为真。
例如，已知“小王既聪明又勤奋”为真，那么我们可以分别断定“小王聪明”为真和“小王勤奋”为真。
2. 合成规则：如果已知联言命题中的各个组成部分都为真，那么可以断定这个联言命题为真。这是因为只有当联言命题的所有组成部分都为真时，联言命题才为真。
例如，已知“小王聪明”为真和“小王勤奋”为真，那么我们可以断定“小王既聪明又勤奋”为真。
二、选言命题的推理规则
选言命题是断定事物的若干种可能情况中至少有一种情况存在的命题。根据选言支之间是否具有并存关系，选言命题可以分为相容选言命题和不相容选言命题。
（一）相容选言命题的推理规则
相容选言命题是断定事物的若干种可能情况中至少有一种情况存在，并且这些情况可以同时存在的命题。其逻辑形式可以表示为“P或Q”，其中P和Q分别代表两个简单命题。相容选言命题的真假取决于其组成部分的真假，即只要P和Q中至少有一个为真，“P或Q”就为真；只有当P和Q都为假时，“P或Q”才为假。
基于相容选言命题的真假关系，我们可以得出以下推理规则：
1. 否定肯定式：如果已知一个相容选言命题为真，同时否定其中一个选言支，那么可以肯定另一个选言支为真。这是因为相容选言命题的真假取决于其组成部分的真假，如果已知相容选言命题为真，并且否定了其中一个选言支，那么另一个选言支必然为真。
例如，已知“小张或者去看电影或者去打篮球”为真，同时否定“小张去看电影”，那么我们可以肯定“小张去打篮球”为真。
2. 肯定否定式：如果肯定相容选言命题中的一个选言支为真，并且否定另一个选言支，那么可以推出相容选言命题为真。这是因为只要相容选言命题的组成部分中有一个为真，那么相容选言命题就为真。
例如，已知“小张去看电影”为真，并且否定“小张去打篮球”，那么我们可以推出“小张或者去看电影或者去打篮球”为真。
（二）不相容选言命题的推理规则
不相容选言命题是断定事物的若干种可能情况中有且只有一种情况存在的命题。其逻辑形式可以表示为“要么P，要么Q”，其中P和Q分别代表两个简单命题。不相容选言命题的真假取决于其组成部分的真假，即只有当P和Q中有且仅有一个为真时，“要么P，要么Q”才为真；否则为假。
基于不相容选言命题的真假关系，我们可以得出以下推理规则：
1. 否定肯定式：如果否定不相容选言命题中的一个选言支，那么可以肯定另一个选言支为真。这是因为不相容选言命题的真假取决于其组成部分的真假，并且只有有且仅有一个组成部分为真时，不相容选言命题才为真。所以，如果否定了其中一个选言支，那么另一个选言支必然为真。
例如，已知“要么小王考上研究生，要么小李考上研究生”为真，同时否定“小王考上研究生”，那么我们可以肯定“小李考上研究生”为真。
2. 肯定否定式：如果肯定不相容选言命题中的一个选言支为真，并且否定另一个选言支，那么可以推出原不相容选言命题为真。这是因为不相容选言命题的真假取决于其组成部分的真假，并且只有有且仅有一个组成部分为真时，不相容选言命题才为真。所以，如果肯定了其中一个选言支，并且否定了另一个选言支，那么原不相容选言命题必然为真。
例如，已知“小王考上研究生”为真，并且否定“小李考上研究生”，那么我们可以推出“要么小王考上研究生，要么小李考上研究生”为真。
3. 否定否定式：如果否定不相容选言命题中的两个选言支，那么可以推出原不相容选言命题为假。这是因为不相容选言命题的真假取决于其组成部分的真假，并且只有有且仅有一个组成部分为真时，不相容选言命题才为真。所以，如果否定了两个选言支，那么原不相容选言命题必然为假。
例如，已知否定“小王考上研究生”和否定“小李考上研究生”，那么我们可以推出“要么小王考上研究生，要么小李考上研究生”为假。
三、假言命题的推理规则
假言命题是断定事物之间条件关系的命题。根据条件关系的不同，假言命题可以分为充分条件假言命题、必要条件假言命题和充要条件假言命题。
（一）充分条件假言命题的推理规则
充分条件假言命题是断定前件是后件的充分条件的命题。其逻辑形式可以表示为“如果P，那么Q”，其中P是前件，Q是后件。充分条件假言命题的真假关系为：前件真且后件假，则该命题为假；前件假，则不论后件是真还是假，该命题都为真。
基于充分条件假言命题的真假关系，我们可以得出以下推理规则：
1. 肯定前件式：如果已知充分条件假言命题的前件为真，那么可以推出其后件为真。这是因为充分条件假言命题的真假关系决定了，当前件为真时，后件必然为真。
例如，已知“如果小王努力学习，那么他会取得好成绩”，同时肯定“小王努力学习”，那么我们可以推出“小王会取得好成绩”。
2. 否定后件式：如果已知充分条件假言命题的后件为假，那么可以推出其前件为假。这是因为充分条件假言命题的真假关系决定了，当后件为假时，前件必然为假。
例如，已知“如果小王努力学习，那么他会取得好成绩”，同时否定“小王会取得好成绩”，那么我们可以推出“小王没有努力学习”。
需要注意的是，我们不能从后件为真推出前件为真（肯定后件式），也不能从前件为假推出后件为假（否定前件式），因为这两种推理方式在充分条件假言命题中并不成立。
（二）必要条件假言命题的推理规则
必要条件假言命题是断定前件是后件的必要条件的命题。其逻辑形式可以表示为“只有P，才Q”，其中P是前件，Q是后件。必要条件假言命题的真假关系为：前件假且后件真，则该命题为假；后件假，则不论前件是真还是假，该命题都为真。
基于必要条件假言命题的真假关系，以及我们可以将其改写为“如果Q，那么P”的形式，从而得出以下推理规则：
1. 肯定后件式：如果已知必要条件假言命题的后件为真，那么可以推出其前件为真。这是因为必要条件假言命题可以改写为充分条件假言命题的形式，即“如果Q，那么P”，所以当Q为真时，P必然为真。
例如，已知“只有小王年满18岁，他才有选举权”，同时肯定“小王有选举权”，那么我们可以推出“小王年满18岁”。