第九章：时态逻辑9（1 / 2）
9.1 逻辑学：时态命题与时态推理
时态逻辑是关于时间和命题的真值之间关系的逻辑。这种逻辑关心的是命题如何在时间中变化其真值。一个基本思想是区分必然命题、可能命题、过去命题、现在命题和未来命题。必然命题指的是在任何可能世界中均为真的命题，而可能命题则指的是在至少一个可能世界中为真的命题。时间逻辑研究命题随时间变化的方式，即它们是过去时、现在时还是将来时。
为了建立时间逻辑，我们首先需要对时间和时间区间有一个基本的理解。我们采用一种简单的理解方式，把时间看作一条从过去延伸到未来的无限直线。我们把这条线上的每一个点都看作一个特定的时刻。两个时刻之间的部分被看作一个时间区间。例如，如果我们有两个时刻t1和t2，且t1早于t2，那么我们就把从t1到t2的连续部分看作一个时间区间。我们分别称t1和t2为这个区间的起始点和终止点。时间区间可以是有限的，如从t1到t2，也可以是无限的，如从某一时刻一直延伸到未来或过去。
一、时态命题
我们现在引入四种基本的时态命题形式：
1. P：命题P在现在是真的。
2. Pp：命题P在过去某个时刻是真的。
3. Pf：命题P将在未来某个时刻是真的。
4. PF：命题P始终是真的（即在所有时间区间内都是真的）。
此外，我们还可以引入下述形式的命题：
1. P∨Q：命题P或Q（或两者）现在是真的。
2. ?P：命题P现在不是真的。
3. P→Q：如果命题P现在是真的，那么命题Q也是真的。
在把这些命题形式转化为时间逻辑中的公式时，我们只需用下述时态算符去修饰它们：
1. G（总是）：指某一命题在所有时间区间内都是真的。
2. F（将来某个时刻）：指某一命题将在未来某个时刻变为真。
3. P（现在）：指某一命题现在是真的。
4. H（过去某个时刻）：指某一命题在过去某个时刻是真的。
我们可以用这些时态算符来构造下述时态命题：
1. GP：命题P在所有时间区间内都是真的。
2. FP：命题P将在未来某个时刻变为真。
3. PP：命题P现在是真的。
4. HP：命题P在过去某个时刻是真的。
我们现在用这些算符来讨论一些例子。
例1：所有的人都必将会死。
这是一个关于所有时间的命题，因为它指的是所有人类从过去、现在到未来的共同命运。因此，我们可以用下述逻辑公式来表示它：G（所有人（X）（最终会死（X）））。
例2：约翰将学会开车。
这是一个关于未来某个时刻的命题，因此我们可以把它表示为FP（约翰（会开车））。
例3：纽约现在是美国的一个城市。
这是一个关于现在的命题，因此我们可以用下述逻辑公式来表示它：PP（纽约（是）（美国的一个城市））。
例4：昨天下了一场雨。
这是一个关于过去的命题，因此我们可以把它表示为HP（下雨（昨天））。
我们现在把这些时态命题引入真值表。真值表用于表示一个命题逻辑形式的所有可能真值。为了构造一个真值表，我们列出命题逻辑形式中的所有命题，并考虑它们在每一种可能的真值组合下的结果。在引入时态命题的情况下，我们需要对下述情况给出真值：现在、过去、将来和始终。
为了简单起见，我们只考虑两个命题P和Q，并构造下述时态命题形式的真值表：
1. PP：P现在是真的。
2. FP：P将在未来某个时刻变为真。
3. HP：P在过去某个时刻是真的。
4. GP：P在所有时间区间内都是真的。
5. P→Q：如果P现在是真的，那么Q也是真的。
我们首先给出P和Q的每一种可能真值组合：
【表格】
PQ
TT
TF
FT
FF
然后，我们根据上述组合构造下述时态命题的真值表：
【表格】
PQPPFPHPGPP→Q
TTTTTTT
TFTFTFF
FTFTFFT
FFFFFFF
在上述真值表中，下述逻辑规则成立：
1. 如果P现在是真的（PP），那么P可能在未来某个时刻变为真（FP），因为现在是未来的一个部分。
2. 如果P在所有时间区间内都是真的（GP），那么P现在是真的（PP），因为现在是所有时间的一个部分。
3. 如果P过去是真的（HP），这并不意味着P现在（PP）或将来（FP）也会是真的。
4. 如果P现在是真的（PP），并且如果P→Q（如果P现在是真的，那么Q也是真的），那么Q现在也是真的。
我们现在把这些时态命题用于下述关于时间的推理。
二、时态推理
例1：所有的猫都是哺乳动物。这是一条永恒的真理（GP：如果X是猫，那么X是哺乳动物）。
1. 如果一只动物是猫（PP：X是猫），
2. 那么它就是哺乳动物（PP：X是哺乳动物）。
例2：约翰现在（PP）是一名学生。
1. 如果约翰现在是学生（PP：约翰是学生），
2. 那么他过去曾是婴儿（HP：约翰是婴儿）。
第二个推理看起来似乎很有道理，因为我们知道人们都是随着年龄的增长而发展的。然而，从逻辑上讲，我们不能从“约翰现在是学生”这一事实推断出“约翰过去曾是婴儿”，因为我们缺乏连接现在状态和过去状态的必要逻辑规则。在现实中，我们知道人们都是从婴儿逐渐成长为学生的，但在逻辑上，除非我们把这个事实作为一个前提，否则我们就不能作出这种推理。
为了弥补这个逻辑上的缺陷，我们引入了下述规则：如果一个对象在过去某个时刻存在，并且它随时间变化而发生了某种改变，那么我们就可以假定，在这个对象现在所存在的那个时刻之前，存在着一个它在过去也存在的时刻。在这个前提下，我们就可以说，既然约翰现在是学生，那么他必定经历过成为学生的所有发展阶段，包括婴儿期。然而，这是一个关于生物学和人类发展的假定，而不是一个纯粹的逻辑规则。
我们现在来看下述时态推理：
例3：约翰将会学习打网球（FP：约翰会打网球）。
1. 如果约翰将来学习打网球（FP：约翰会打网球），
2. 那么他现在可能不会打网球（?PP：约翰会打网球）。
这个推理在逻辑上是有效的，因为它基于下述事实：未来事件的可能性并不排除现在事件的不可能性。然而，在实际生活中，如果约翰决心学习打网球，并且已经开始上网球课，那么他现在已经学会了打网球的可能性也是存在的。这个推理之所以在逻辑上有效，是因为它允许存在下述可能性：即尽管约翰未来会打网球，但他现在还没有学会。
例4：苏珊过去曾患过感冒（HP：苏珊患过感冒）。
1. 如果苏珊过去曾患过感冒（HP：苏珊患过感冒），
2. 那么她现在已经康复了（PP：苏珊已经康复）。
这个推理在逻辑上是不成立的，因为它基于下述假定：即苏珊现在所处的状态是她过去所处状态的一个直接结果。然而，尽管苏珊过去患过感冒，但她现在仍然可能处于患病状态。要使这个推理在逻辑上成立，我们需要添加下述前提：即感冒是暂时的，人们最终都会康复。然而，这是一个关于医学和疾病的假定，而不是一个纯粹的逻辑规则。
三、时态逻辑系统
我们现在介绍一种用于形式化时态推理的逻辑系统。这种系统通常被称为时态逻辑或时间逻辑。时态逻辑允许我们构造关于时间区间的命题，并推导出这些命题之间的逻辑关系。
时态逻辑的一种基本形式是K系统，它只包含下述基本的逻辑规则：
1. ∧-引入（合取引入）：如果P和Q是命题，那么（P∧Q）也是一个命题。
2. ∨-引入（析取引入）：如果P和Q是命题，那么（P∨Q）也是一个命题。
3. →-引入（蕴含引入）：如果P和Q是命题，并且如果P为真则Q也为真，那么（P→Q）也是一个命题。
4. ?-引入（否定引入）：如果P是命题，那么（?P）也是一个命题。
5. K-公理：?P（（P→FP）∧（?FP→?P））。这个公理表达了下述事实：如果命题P现在是真的，那么它将在未来某个时刻保持为真；如果命题P未来不是真的，那么它现在也不是真的。
除了上述基本的逻辑规则和公理之外，时态逻辑还包含下述关于时间的算符和规则：
1. G（总是）：指某一命题在所有时间区间内都是真的。
2. F（将来某个时刻）：指某一命题将在未来某个时刻变为真。
……………
9.2 逻辑学：现在、过去与未来的逻辑表达
逻辑学是一门关于思维规律的科学，它研究推理的有效性以及论证的正确性。在逻辑学的视角下，时间——现在、过去与未来——不仅仅是流逝的连续体，更是思维表达与推理结构中不可或缺的元素。通过对时间的逻辑分析，我们可以更深入地理解事物之间的因果关系、必然性与可能性，以及知识如何随时间而演变。
一、时间的逻辑结构
1. 现在：瞬间与持续
在逻辑学中，现在是一个复杂的概念，它既是时间流逝中的一个瞬间，又是持续不断的体验。作为瞬间，现在被视为时间线上的一个点，是过去与未来的分界。然而，作为持续，现在则包含了从极短的时间片段到较长时间跨度的各种可能。
在逻辑表达中，我们常使用“现在”来指涉某个具体时刻的状态或事件。例如，“现在正在下雨”这句话中，“现在”明确指出了下雨这一事件的时间背景。同时，我们也可以将“现在”理解为一种相对的概念，用以描述某个时间段内的持续状态。
2. 过去：回忆与证据
过去是已经消逝的时间，它存在于我们的记忆中，并通过各种形式的证据（如历史文献、遗迹等）得以保存。在逻辑学中，过去的事件被视为推理的起点之一，它们为我们提供了关于事物如何发展的信息。
当我们根据过去的事件进行推理时，必须依赖可靠的证据来支持我们的结论。例如，在历史学研究中，学者会通过分析历史文献、考古发现等证据来重构过去的事件。这种推理过程需要遵循逻辑学的原则，以确保结论的准确性和可靠性。
3. 未来：预测与规划
未来是尚未到来的时间，它充满了不确定性和可能性。在逻辑学中，未来的事件虽然尚未发生，但我们可以根据现有的知识和推理能力来预测它们的发展趋势。
预测未来的过程涉及对多种因素的综合分析和评估，包括过去的事件、当前的趋势以及可能的外部影响。在逻辑表达中，我们可以使用条件句来描述未来可能的事件及其前提条件。例如，“如果明天天气晴朗，那么我们就可以去郊游。”这句话中的条件句表达了一个未来可能的事件及其发生的条件。
二、时间逻辑中的因果关系
1. 因果关系的定义
因果关系是逻辑学中一个重要的概念，它描述了事件之间的先后次序和依赖关系。一个事件（原因）导致了另一个事件（结果）的发生，这种关系被称为因果关系。
在因果关系的逻辑表达中，我们通常使用“因为……所以……”或“由于……导致……”等结构来描述原因和结果之间的关系。例如，“因为昨天下了雨，所以今天地面很湿。”这句话中的因果关系是明确的。
2. 因果关系的推理规则
在逻辑学中，因果关系的推理需要遵循一定的规则。首先，原因必须先于结果发生，即时间上的先后顺序是因果关系的基本特征之一。其次，原因和结果之间必须存在必然的联系，即原因的发生必然导致结果的出现。最后，因果关系还需要排除其他可能的干扰因素，以确保推理的准确性。
然而，在实际生活中，因果关系往往受到多种因素的影响而变得复杂。因此，在进行因果关系的推理时，我们需要谨慎地分析各种因素之间的相互作用，以避免得出错误的结论。
3. 反事实推理与因果关系
反事实推理是一种特殊的推理方式，它假设某个条件不成立时的情况来推断结果的变化。在逻辑学中，反事实推理可以用来分析因果关系的敏感性以及潜在的影响因素。
例如，“如果昨天没有下雨，那么今天地面就不会这么湿。”这句话就是一个反事实推理的例子。它假设了一个与实际情况相反的条件（昨天没有下雨），并据此推断出结果的变化（地面不会这么湿）。通过反事实推理，我们可以更深入地理解因果关系中的关键因素以及它们对结果的影响程度。
三、时间逻辑中的必然性与可能性
1. 必然性的逻辑表达
必然性是指某种事件或状态在逻辑上必然会发生或存在。在逻辑学中，必然性通常与逻辑推理的严格性和准确性相关联。
当我们说某个事件是必然的时，我们意味着在给定的条件下，该事件一定会发生，没有任何例外。这种必然性可以通过逻辑推理来证明。例如，“所有的猫都是哺乳动物，这只猫是猫，所以这只猫是哺乳动物。”这个推理过程就是必然性的一个例子。
2. 可能性的逻辑分析
与必然性相对的是可能性，它描述了某种事件或状态在逻辑上有可能发生或存在的程度。在逻辑学中，可能性通常与不确定性、随机性和概率等概念相关联。
当我们说某个事件是可能的时，我们意味着在给定的条件下，该事件有可能发生，但并非一定会发生。这种可能性可以通过概率论来量化分析。例如，“掷一枚骰子，点数为6的可能性是1/6。”这句话就描述了一个可能性的例子。
3. 必然性与可能性的关系
在逻辑学中，必然性和可能性是相互关联的。必然性可以看作是一种特殊的可能性，即概率为1的可能性；而可能性则包含了从0到1之间的所有概率值。
在实际生活中，我们往往需要根据具体情况来判断某个事件是必然的还是可能的。这种判断需要依赖我们的知识、经验和逻辑推理能力。同时，我们还需要意识到，即使某个事件在逻辑上是可能的，但在实际生活中也可能受到多种因素的影响而难以实现。
四、时间逻辑中的知识演变
1. 知识的积累与更新
知识是人类对世界的认识和理解的产物。在逻辑学中，知识被视为一种可靠的信念或真理，它可以通过逻辑推理和验证来获得。
随着时间的推移，知识会不断地积累和更新。新的科学发现、技术革新和社会变革都会推动知识的进步和发展。在逻辑表达中，我们可以使用“已知”、“未知”和“待验证”等词汇来描述知识的状态及其演变过程。
2. 知识的逻辑结构与推理
知识在逻辑学中具有一定的结构性和系统性。它可以通过命题、定义、定理和推论等形式来表达和传递。同时，知识还需要遵循逻辑学的原则来进行推理和验证。
在知识的推理过程中，我们需要使用各种逻辑推理方法（如演绎推理、归纳推理等）来推导新的结论或验证已有的假设。这些推理方法需要基于可靠的逻辑规则和前提来进行，以确保推理的准确性和有效性。
3. 时间对知识演变的影响
时间对知识演变的影响是深远的。它推动了知识的不断积累和更新，同时也带来了知识的遗忘和失效。在逻辑学中，我们需要认识到时间对知识的影响，并采取相应的措施来应对这些挑战。
首先，我们需要不断地学习和探索新的知识领域和技术发展，以保持对世界的最新认识和理解。其次，我们需要定期回顾和评估已有的知识体系，以识别和纠正其中的错误和不足之处。最后，我们还需要建立有效的知识管理和传播机制，以确保知识的可持续性和共享性。
五、结论
时间——现在、过去与未来——在逻辑学中扮演着重要的角色。通过对时间的逻辑分析，我们可以更深入地理解事物之间的因果关系、必然性与可能性以及知识的演变过程。
现在作为时间流逝中的一个瞬间和持续不断的体验为我们提供了关于当前状态的信息；过去作为已经消逝的时间为我们提供了关于事物如何发展的历史证据；而未来则充满了不确定性和可能性，需要我们根据现有的知识和推理能力来进行预测和规划。
在逻辑表达中，我们需要准确地使用与时间相关的词汇和句式来描述事件的时间背景、因果关系以及知识的状态及其演变过程。同时，我们还需要遵循逻辑学的原则来进行推理和验证，以确保结论的准确性和可靠性。
通过对时间逻辑的研究和探讨，我们可以更好地理解世界的本质和规律，推动知识的进步和发展。同时，我们也可以从中汲取智慧和启示，以更好地应对生活中的挑战和机遇。愿我们在时间的河流中不断前行，不断学习和成长，最终抵达智慧的彼岸。
9.3 时态逻辑的模型与解释
时态逻辑（Temporal Logic）是一种用于描述和推理关于时间流逝中事件顺序的逻辑系统。它扩展了经典逻辑，引入了时间维度，使得能够表达诸如“在某个时间点P为真，然后在之后的某个时间点Q也为真”这样的命题。时态逻辑在计算机科学、人工智能、哲学以及语言学等领域有着广泛的应用，特别是在形式化验证、时态数据库查询、自然语言理解和规划等领域。
时态逻辑的模型与解释是理解其应用的基础。在本节中，我们将探讨时态逻辑的基本模型，包括时间线模型、Kripke结构等，并解释如何通过这些模型来理解和评估时态逻辑公式。
9.3.1 时间线模型
时间线模型是时态逻辑中最直观的一种模型。它将时间看作是一条无限延伸的直线，每个点代表一个时间点。在这个模型中，事件被看作是发生在时间线上的特定点或区间上的。
1. 时间点的表示：
? 在时间线模型中，时间点通常用自然数（0, 1, 2, ...）或实数（表示连续的时间）来表示。
? 每个时间点都有一个唯一的标识符，用于区分不同的时间点。
2. 事件的表示： ? 事件被看作是发生在时间线上的特定点或区间上的集合。