第十二章：逻辑学与计算机科学12（2 / 2）
命题逻辑作为逻辑学的基础分支之一，具有广泛的应用价值和深远的意义。通过学习和掌握命题逻辑的基本概念和推理规则以及布尔代数在命题逻辑中的应用方法，我们可以更好地理解和分析论证的结构和有效性，并应用于计算机科学。
12.3 逻辑学：谓词逻辑与一阶逻辑程序设计
谓词逻辑（Predicate Logic）是一种形式系统，用于表达、推理关于对象和属性的陈述。与命题逻辑（Propositional Logic）相比，谓词逻辑允许我们更细致、更精确地描述世界。命题逻辑只能处理简单的真值陈述，而谓词逻辑则可以处理涉及关系、函数、量化（全称和存在）的复杂陈述。
一阶逻辑（First-ic，FOL）是谓词逻辑的一种，它限制了对变量的量化范围，只能量化个体（对象），而不能量化属性、关系或函数。这种限制使得一阶逻辑具有更强的表达能力，同时也保持了计算的可行性。
12.3.1 谓词逻辑的基本概念
1. 谓词（Predicate）
谓词是一个表示关系或属性的函数，其返回值是一个真值（True或False）。谓词通常使用大写字母表示，如P、Q、R等，并接受一定数量的参数（个体）。例如，P(x)可能表示“x是一个素数”，而R(x, y)可能表示“x大于y”。
2. 个体（Individual）
个体是谓词逻辑中的基本对象，可以是具体的物体、人、概念等。个体通常使用小写字母表示，如a、b、c等。在一阶逻辑中，个体是量化的基本单位。
3. 原子公式（Atomiula）
原子公式是一个不包含连接词（如“且”、“或”、“非”）、量词（如“对于所有”、“存在”）的最简单的谓词逻辑公式。原子公式通常表示为P(t1, t2, ..., tn)，其中P是一个谓词，而t1, t2, ..., tn是项（个体或变量）。
4. 连接词（ective）
连接词用于组合逻辑公式以形成更复杂的公式。常见的连接词包括：
? 且（∧）：表示两个公式都为真时，整个公式为真。
? 或（∨）：表示两个公式中至少有一个为真时，整个公式为真。
? 非（?）：表示公式的否定，即公式为真时，否定公式为假；公式为假时，否定公式为真。
5. 量词（Quantifier）
量词用于量化变量以形成全称命题或存在命题。常见的量词包括：
? 全称量词（?）：表示对于所有满足条件的个体，某个公式都为真。例如，?x(P(x))表示“对于所有x，P(x)都为真”。
? 存在量词（?）：表示存在至少一个满足条件的个体，使得某个公式为真。例如，?x(P(x))表示“存在至少一个x，使得P(x)为真”。
12.3.2 一阶逻辑的语法
一阶逻辑的语法规则定义了如何构造合法的逻辑公式。以下是一阶逻辑的基本语法规则：
1. 原子公式：P(t1, t2, ..., tn)是一个原子公式，其中P是一个n元谓词，t1, t2, ..., tn是项（个体或变量）。
2. 连接词构成的公式：
? 如果A和B是公式，则A ∧ B、A ∨ B和?A也是公式。
3. 量词构成的公式：
? 如果A是一个公式，x是一个变量，则?xA和?xA也是公式。注意，量词的作用范围通常通过括号或上下文来明确。
4. 括号的使用：为了明确公式的结构和量词的作用范围，通常需要使用括号。例如，(?x(P(x) ∧ Q(x)))表示“对于所有x，P(x)和Q(x)都为真”。
5. 自由变量和约束变量：在公式中，如果一个变量受到某个量词的作用（即被该量词量化），则称该变量为约束变量；否则，称该变量为自由变量。例如，在?x(P(x) ∧ Q(y))中，x是约束变量，而y是自由变量。
6. 公式的等价性：两个公式在逻辑上是等价的，如果它们在所有可能的解释下都具有相同的真值。例如，A ∨ A与A是等价的。
12.3.3 一阶逻辑的解释和模型
一阶逻辑的解释（Interpretation）或模型（Model）是一个将逻辑公式中的符号映射到具体对象或真值的方式。一个解释包括：
1. 个体域（Domain of Individuals）：一个非空集合，包含所有可能的个体。
2. 谓词解释：对于每个谓词P，一个将P的参数映射到真值（True或False）的函数。例如，如果P是一个二元谓词，则P的解释可能是一个从个体域中的有序对到真值的函数。
3. 函数解释（可选）：对于每个函数f，一个将f的参数映射到个体域中元素的函数。注意，一阶逻辑通常只关注关系（即谓词），而不涉及函数。但在某些情况下，函数也可以被包含在内。
4. 赋值（Assig）：一个将变量映射到个体域中元素的函数。赋值用于确定公式中自由变量的具体值。
给定一个解释和一个赋值，我们可以计算一个公式的真值。例如，在解释下，如果P(a)为真，则?x(P(x))在赋值为x=a时也为真（但还需要检查其他可能的赋值以确定全称命题的整体真值）。
12.3.4 一阶逻辑的推理系统
一阶逻辑的推理系统是一组规则，用于从已知的前提推导出结论。常见的推理系统包括自然演绎（Natural Dedu）、公理化系统（Axiomatic System）和希尔伯特系统（Hilbert System）等。这里我们以自然演绎为例进行介绍。
自然演绎是一种直观的推理方法，它允许我们从假设出发，通过一系列推理规则得出结论。自然演绎的推理规则通常包括：
1. 引入规则（Introdu Rules）：用于引入新的逻辑符号或结构。例如，引入全称量词或存在量词的规则。
2. 消除规则（Elimination Rules）：用于去除逻辑符号或结构，以简化公式或进行进一步的推理。例如，从全称命题中消除量词的规则。
3. 连接词规则：用于处理连接词（如“且”、“或”、“非”）的规则。例如，合取引入（∧I）、合取消除（∧E）、析取引入（∨I）、析取消除（∨E）和否定引入（?I）、否定消除（?E）等。
4. 等价替换规则：如果两个公式在逻辑上是等价的，则可以在推理过程中相互替换。例如，A ∨ A可以替换为A。
5. 假设规则：允许我们在推理过程中暂时引入一个假设，并在后续步骤中尝试证明或反驳它。如果最终能够证明结论而不依赖于假设，则假设可以被丢弃。
通过应用这些规则，我们可以从一组前提出发，逐步推导出结论。自然演绎的一个关键特点是它的直观性和灵活性，它允许我们根据问题的具体需求选择合适的推理路径。
12.3.5 一阶逻辑程序设计
一阶逻辑程序设计是一种将一阶逻辑用于程序设计和实现的方法。它允许我们使用逻辑公式来描述程序的行为和约束，并使用逻辑推理来验证程序的正确性和优化程序的执行。
一阶逻辑程序设计通常涉及以下几个步骤：
1. 问题建模：首先，我们需要将问题转化为逻辑公式。这包括定义适当的谓词、函数和个体域，以及使用逻辑连接词和量词来表达问题的约束和条件。
2. 逻辑推理：在得到逻辑公式后，我们可以使用逻辑推理系统来推导结论或验证假设。这通常涉及应用推理规则来逐步简化公式或证明某个命题的真假。
3. 程序实现：一旦我们得到了所需的逻辑结论或验证了某个假设的正确性，我们就可以将这些结论或假设转化为程序代码。这通常涉及将逻辑公式映射到程序中的变量、函数和条件语句上。
4. 验证和优化：最后，我们需要验证程序的正确性并优化其性能。这可以通过测试程序在不同输入下的行为来实现，也可以使用逻辑推理系统来验证程序的逻辑正确性。同时，我们还可以根据逻辑推理的结果来优化程序的执行路径和算法选择。
一阶逻辑程序设计的一个典型应用是智能系统的开发。在这些系统中，我们可以使用逻辑公式来描述知识库中的事实和规则，并使用逻辑推理来根据输入信息生成输出或进行决策。这种方法具有高度的灵活性和可扩展性，可以适应不同领域和问题的需求。
12.4 逻辑学：逻辑学在人工智能与数据库中的应用
逻辑学是一门古老而又常青的学问。说它古老，是因为早在2000多年前的先秦时期，中国就有名家和墨家研究和讨论逻辑问题；在古希腊，也有哲学家亚里士多德深入研究了推理问题，写出了被世人称颂的《工具论》。说它常青，是因为直到今天，人们依然热衷于学习和研究逻辑学，不断将其应用到新兴领域，从而推动了人工智能和数据库技术等的发展。
逻辑学是研究推理有效性的思维形式科学，其研究的基本内容是概念、判断、推理、论证、演绎、归纳、假说等等思维形式。在逻辑学中，研究推理的学说称为“逻辑”或“理则学”（旧译“名学”“辩学”“论理学”“理学”）。传统上，逻辑被作为哲学的一个分支来研究。但随着时代的发展，逻辑学已经成为数学的一个基础学科，在哲学、语言学、计算机科学、人工智能、数据库技术、医学、法律等学科中都有重要应用。
逻辑学发展到今天，已经有了多个分支，主要包括传统逻辑、数理逻辑、模态逻辑、归纳逻辑、证明论、辩证逻辑、弗协调逻辑、非单调逻辑、认知逻辑、计算逻辑、模糊逻辑等等。数理逻辑又称为符号逻辑、理论逻辑，是数学的一个分支，是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑不仅研究推理的正确性问题，而且研究推理的有效性和完备性问题。模态逻辑是从模态角度（含可能性、必然性、或然性等）研究推理的学说。模态是指事物和认识的可能性和必然性。归纳逻辑是关于归纳推理的学说，即研究从个别到一般的推理，主要研究如何由知识片段推出一般原理或规律，以及如何对现象和问题进行概括或分类的逻辑方法和思维规律。证明论是现代数理逻辑的一个重要分支，是研究与形式系统相关的证明的性质和结构的数学理论。辩证逻辑是研究人的认识理性阶段思维规律的学说，是认识辩证法在思维中的运用，辩证逻辑的对象是客观世界的辩证运动和人类认识的辩证过程。弗协调逻辑是现代逻辑的一个分支，主要用来处理一些逻辑系统内的矛盾，探讨某些矛盾并不妨碍系统有效推理的形式和方法。非单调逻辑是指一个逻辑系统随着推理的不断进行，其前提集在不断扩大，因此推理的结论也就不断更改和修正的逻辑。认知逻辑是研究认知过程和认知现象的逻辑形式及其规律的逻辑学分支学科，它是现代逻辑特别是模态逻辑应用于认知科学而产生的成果。计算逻辑是研究可计算对象的结构和性质的逻辑系统，它将数学逻辑、集合论和递归函数论等方法应用于可计算性理论和计算机科学中的理论问题。模糊逻辑是指研究和处理模糊性现象的一种数学逻辑，是研究和处理模糊概念和模糊现象的数学逻辑，在人工智能等领域有重要应用。
下面，我们来介绍一下逻辑学在人工智能和数据库中的应用。
一、逻辑学与人工智能
人工智能是一门新兴的高技术学科，20世纪70年代以来被称为世界三大尖端技术之一（空间技术、能源技术、人工智能）。它也被认为是21世纪三大尖端技术（基因工程、纳米科学、人工智能）之一。这是因为近30年来它获得了迅速的发展，在很多学科领域都获得了广泛应用，并取得了丰硕的成果，人工智能已逐步成为一个独立的分支，无论在理论和实践上都已自成一个系统。
人工智能是一门交叉和边缘学科，属于自然科学、社会科学、技术科学三向交叉学科，其研究范畴广泛而又复杂。总的来看，人工智能研究的主要目标是使机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作。但不同的时代、不同的人对这种“复杂工作”的理解是不同的。20世纪40年代至50年代，人们认为推理是智能的根本，因此把问题求解作为研究的核心，并利用逻辑来表达和解决。这一时期最有成果的研究是机器定理证明，其中最著名的工作是英国数学家和计算机科学家阿兰·麦席森·图灵和美国数学家王浩于1950年合作发表的一篇关于用机器来证明数学定理的论文，它提出了一个可以用计算机程序来模拟人证明数学定理的过程的系统，这一系统后来被称为图灵机。在之后的几年里，图灵机不断得到完善，王浩证明了《数学原理》一书前52条定理中的38条。与此同时，以纽厄尔、西蒙、肖等人为代表的科学家提出了符号主义学派，其观点是基于符号逻辑和有限理性原理的人工智能理论，其重要理论基础之一是20世纪初由罗素等数学家发起的数理逻辑。这一学派认为人工智能源于数学逻辑，主张用符号来表达人类的认知过程，并用计算机来实现这种表达。他们还认为，人是一个符号系统，计算机也是一个符号系统，既然二者在行为上有共同性，那么计算机也可以模拟人的智能。因此，人工智能学科的形成和发展与逻辑学密切相关，在人工智能科学的研究中，许多专家采用了逻辑学的原理和方法，逻辑学中的一些重要概念，如命题、推理、逻辑运算、集合等，成为人工智能学科的重要术语。数理逻辑、模态逻辑、模糊逻辑等也相继成为人工智能领域重要的工具。
1. 数理逻辑与人工智能
数理逻辑又称为符号逻辑、理论逻辑，是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑不仅研究推理的正确性问题，而且研究推理的有效性和完备性问题。它研究的推理严格地说就是形式化推理，或者说，是把推理看作是一种按照一定规则从给定前提得出结论的形式化操作过程。人工智能研究中涉及的主要推理类型有演绎推理、归纳推理和默认推理等。在人工智能中，特别是在专家系统、自然语言理解和机器学习等领域中，广泛地应用了数理逻辑的各种技术和方法。人工智能所使用的符号和概念是用一种形式化的语言来描述的，形式化语言是由字符构成的符号串的有限集合，这些符号串按照一定的结构规则和形成规则而构成语句或程序。因此，形式语言的研究和人工智能有着密切的关系。
数理逻辑是研究推理的形式化结构的，其内容包括命题逻辑、谓词逻辑、证明论、模型论、集合论、递归论等。在人工智能中，采用数理逻辑进行知识表示和推理是一种基本方法。知识表示有逻辑表示法、产生式表示法、框架表示法、语义网络表示法和脚本表示法等，其中逻辑表示法是利用命题逻辑、谓词逻辑或一阶谓词逻辑来进行知识表示的方法。用逻辑表示法表示的知识可以很方便地通过推理机进行推理。推理机实际上就是一组推理程序，它可以接收用户查询，采用某种推理策略（如深度优先策略、广度优先策略、启发式策略等）对知识库中的知识进行推理，从而获得结论。目前，逻辑表示法和推理机已经成为许多专家系统和智能系统中一个必不可少的组成部分。此外，在机器学习、定理证明、自然语言理解、知识工程、图像识别、数据挖掘等领域中，数理逻辑也有着重要应用。
2. 模态逻辑与人工智能
模态逻辑是从模态角度（含可能性、必然性、或然性等）研究推理的学说。模态是指事物和认识的可能性和必然性。在逻辑学中，模态词通常指“必然”“可能”“允许”“禁止”等概念。模态逻辑的主要内容包括真势模态逻辑、规范模态逻辑、认识模态逻辑、时态模态逻辑等。模态逻辑与人工智能的结合是当代逻辑研究的重要趋势之一。模态逻辑对人工智能研究具有重要意义，它不仅为人工智能研究提供了形式化的工具和方法，也为智能系统的设计和开发提供了理论基础和支撑。模态逻辑在人工智能领域的应用主要包括知识表示、推理、规划和决策等方面。
在知识表示方面，模态逻辑可以用于表示知识的不确定性、不完全性和动态性。例如，可以利用模态逻辑表示知识库中某个知识的真实性程度（必然为真、可能为真、不可能为真等），从而有效地处理不确定性知识。此外，模态逻辑还可以用于表示知识之间的逻辑关系，如蕴含关系、矛盾关系等。
在推理方面，模态逻辑可以用于扩展和增强经典逻辑的推理能力。例如，可以利用模态逻辑处理不确定性和不完备性条件下的推理问题，以及处理多主体系统中的合作和协调问题。此外，模态逻辑还可以用于构建智能系统的推理模型，从而实现自动推理和智能决策。
在规划和决策方面，模态逻辑可以用于描述和求解智能系统的规划和决策问题。例如，可以利用模态逻辑表示规划问题中的目标和约束条件，以及描述不同行动方案的可能性和结果。此外，模态逻辑还可以用于构建智能系统的决策模型，从而实现自主决策和智能控制。
3. 模糊逻辑与人工智能
在现实生活中，客观事物存在着许多不确定性。人们在使用自然语言描述这些事物时，往往会采用一些模糊概念。所谓模糊概念，是指外延不确定的概念，或者说，是指那些内涵明确而外延不确定的概念。如“美”“大”“善”“青年”“秃头”等都是模糊概念。与模糊概念相对应的是精确概念，其外延是确定的，如“北京”“太阳”等都是精确概念。传统的二值逻辑（经典逻辑）把事物看作是完全确定或完全不确定的，这种逻辑不适合表达和处理模糊性知识。为了解决这一问题，人们提出了模糊逻辑。模糊逻辑又称为近似推理，是一种基于模糊集合论的逻辑。模糊逻辑克服了二值逻辑的局限性，引入了隶属度函数来描述事物的模糊性，并用多值逻辑来进行推理和判断。
模糊逻辑在人工智能中有着广泛的应用，主要包括模糊控制、模糊聚类分析、模糊模式识别、模糊综合评判、模糊决策和模糊预测等。其中，模糊控制是模糊逻辑在人工智能中最重要和最直接的应用。模糊控制的基本思想是用语言归纳操作人员的控制策略，然后用模糊逻辑进行推理，最后实现对系统的控制。与传统控制方法相比，模糊控制不需要建立被控对象的数学模型，它更适合于处理一些非线性、时变和滞后的复杂系统。此外，模糊控制还具有鲁棒性强、容错性好。